# 数学建模_养鱼问题__线性规划_动态规划

**Repository Path**: Small_wind/fish_math_model

## Basic Information

- **Project Name**: 数学建模_养鱼问题__线性规划_动态规划
- **Description**: 数学建模基础，养鱼问题
- **Primary Language**: Python
- **License**: Apache-2.0
- **Default Branch**: master
- **Homepage**: None
- **GVP Project**: No

## Statistics

- **Stars**: 2
- **Forks**: 2
- **Created**: 2021-05-16
- **Last Updated**: 2023-06-27

## Categories & Tags

**Categories**: Uncategorized

**Tags**: None

## README

# 数学建模之养鱼模型

#### 问题定义
```
某地有一鱼塘，其水面面积约为100×100平方米，某人承包了三年的使用权，并用来养殖某种鱼，与该种鱼相关的假设如下： 

（1）鱼的存活空间为每平方米可养1kg的鱼。

（2）每公斤鱼需要的饲料为0.05公斤，市场上饲料价的价格为0.5元/公斤。

（3）鱼苗的价格忽略不计，每公斤鱼苗大约有500条。

（4）鱼可四季生长，每天的生长重量是与鱼的自身重量成正比，360天就能成长为成鱼，成鱼的重量为2公斤。

（5）此种鱼的市场售价为：

每条鱼重为0.2到0.75公斤的时候，售价为12元/公斤，每条鱼重0.75到1.5公斤的时候，售价为16元/公斤，每条鱼重量1.5至2公斤时，售价为20元/公斤，每公斤重量小于0.2公斤的鱼不能上市，规定其价格为零。

（6）池内只能投放鱼苗。

问题：若池内放进的鱼繁殖与死亡均可忽略，请设计能获得较大利润的三年养殖方案。
```

#### 解决思路

方案1、2：线性规划 方案3：动态规划

```
1. 获取单条鱼的重量
    由于每公斤鱼苗大约有500条,因此一条鱼的重量是1/500kg
2. 获取增长系数q值
    计算方法:
        由于一条鱼长到成鱼2kg需要360天,且每天的生长重量是与鱼的自身重量成正比
        因此根据增长方程an = an-1 + q * an-1 且 a1 = 1/500,求得
        q = 1000^(1/360) - 1 = 0.01937348593887278

3. 解决思路
    方案一:一次性投放5000条鱼苗,并将其一次性养殖到成鱼2kg(需要360天),这样的投放过程一共3次(一共360 * 3天)
        由于池塘总容量是10000kg,因此考虑一次性养满鱼塘,一共是5000条鱼*3年

        三年收益E:  因为有3年,5000条2kg的鱼,每kg20元,因此收益E = 20*2*5000*3 = 600000元
        第d天时池塘鱼的重量w:   设w为第d天时候池塘鱼的重量,则w = 1/500 * pow(q+1, day)
        三年的费用C: 由于每公斤鱼需要的饲料为0.05公斤，市场上饲料价的价格为0.5元/公斤
                  第360天的时候,饲料费用为c = 5000 * (∑day从1到360) 1/500 * pow(q+1, day)*0.05*0.5
                  因此三年的总费用是C = 3 * c = 38673.99元    # 38673.99
        三年的利润P: P = E - C = 600000 - 38673.99 = 561326.01元

    方案二:一次性投放num条鱼苗,并将其一次性养殖到one_fish_weight公斤(一条鱼,one_fish_weight大于1/500,小于等于2),这样投放工程一共iters次
        并构建one_fish_weight - P函数,根据函数图像,确定最终最优的one_fish_weight是多少,最优的one_fish_weight能够是的P最大
        思路于方案一进行优化和改进,最终得到one_fish_weight为1.52公斤时,利润最优

        构建 one_fish_weight - P方程:
            1.计算鱼长到one_fish_weight重时需要的天数weight_time:
                由于an = a1*(q+1)^n,an表示第n天时,一条鱼的重量,a1表示鱼苗的重量,q表示增长系数
                因此求得weight_time = n = 360*log(500 * one_fish_weight,1000)   ,其中1000为底数
            2.计算iters,该值取决于3年里,鱼苗长到one_fish_weight的天数,也就是iters = 3*365 // weight_time, 其中//表示整除
            3.计算鱼塘能容纳多少条one_fish_weight重量的鱼,nums_fish = 10000//one_fish_weight
            4.三年收益E:  因为有iters批,nums_fish条 one_fish_weight kg的鱼,每kg y元,因此收益E = y * one_fish_weight * nums_fish * iters
            5.第d天时池塘鱼的总重量w: w = 1/500 * pow(q+1, day)  ,同方案一
            6.三年的费用C:
                    第weight_time天的时候,饲料费用为c = one_fish_wight * (∑day从1到weight_time) 1/500 * pow(q+1, day)*0.05*0.5
                    因此三年的总费用是C = iters * c 元
            7.三年的收益P = E - C
        构建one_fish_weight - P方程,通过求得最大P至可以发现,one_fish_weight取1.92时P最高,同时有
        总消耗  总收益  总利润 561971.61

    方案三:动态规划养鱼
        放方案一和二中可以看到,两种方案的 池塘容纳重量-时间关系图 ,都没有很好的利用池塘的空间,为了充分利用池塘的空间,同时不考虑鱼的死亡问题,建立动态规划模型
        1~360天:
        动态规划养鱼的思路,可以考虑每一天都投放固定数量 s_num 的鱼苗,同时使得在第360天时,池塘中的鱼苗重量达到饱和(接近10000kg)
        从361~k天:
        继续投放固定数量 s_num 的鱼苗,同时,从该天开始,就开始每天收益 20 * s_num 元
        从k~1095天:
        从后向前推理状态转移方程,则在最后一天的时候,要卖出尽量多的鱼苗,同时最后一天的鱼塘容纳鱼的重量要接近于10000kg
        3年=1095天,因此可以考虑在k = 1095-360+1天开始,投放5000条鱼苗,同时,在第k天时,不再继续每天
        1.构建状态转移方程,假设dp[i],i表示第i天,dp表示该天的重量
        因此:dp[i] = dp[i-1] + s_num * 1/500 * 1000*(i/360) , 1<=i<=360,i为整数
            dp[i] = dp[i-1]                                , 361<=i<=k-1,i为整数
            dp[i] = (dp[k]-2*s_num)*pow(1000,1/360) + 5000*1/500*pow(1000,(i-k)/360) , k<=i<=1095,i为整数
        2.三年的收益P:P = (s_num * (365*3-361) * 20 + 5000 * 20)*2   //2表示2kg
        3.三年的费用C:C =  ∑(i从1到1095)dp[i] * f(dp[i]), f(dp[i])表示第i天花费的饲料费用
        4.三年的利润E:E = P - C
        动态规划的收益: 2989200元
        动态规划的消耗: 196410.00307279264元
        动态规划的利润: 2792789.9969272073元
```

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